Не происходит отправка в каком виде? Что при этом сообщает движок?
Быть может пользователи по заданным параметрам не найдены.
Если все должно работать, но почта не отправляется, проверьте почтовые логи сервера — сразу поймете, в чем тут дело.

Все дело в том, что движок ничего не сообщает… лоадер вращается и на этом все…
У меня хостинг на sweb.ru и логов почтового сервера там нет, есть error_log, но он абсолютно пустой, так как ошибок не возникало… Я уже просто не знаю, что это может быть…

Вам нужно указать почтовый ящик, который зарегистрирован на том сервере, где установлен движок.
Вы так и сделали?

разумеется, первым делом!
Правда при сохранении настроек получается это:
текст самих настроек исчезает, после обновления страницы видно, что все правильно, и оповещения на почту приходят верно…

Это баг, не переживайте :-)
А вот почему письма не уходят — надо смотреть логи сервера почтовые.
Или проверить, чтобы в конфигурации виртуального хоста стоял тот же адрес, что вы указали.
Попробуйте в .htaccess вписать следующее:
php_admin_value sendmail_path "/usr/sbin/sendmail -t -i -f ваш@адрес.почты"

хм… создал файл, положил в корневую дирректорию…
— Internal Server Error

The server encountered an internal error or misconfiguration and was unable to complete your request.

Please contact the server administrator, root@sweb.ru and inform them of the time the error occurred, and anything you might have done that may have caused the error.

More information about this error may be available in the server error log.

Рекомендую переехать на VPS хотя бы. Сейчас цены невысокие, а вот контроль над системой будет в разы выше.